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Testi consigliati:
C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica volume uno (per la parte relativa alle funzioni implicite) ,
Zanichelli, 1999.
E. Giusti, Analisi Matematica 2 (per la parte relativa alle funzioni implicite ed alle superfici) , Boringhieri. N. Fusco, P. Marcellini, C.Sbordone Analisi Matematica 2 (per la parte relativa all'integrazione multipla) Liguori, 1996. C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica volume due (per il resto del programma), Zanichelli, 1999. Dispense del docente (per la parte relativa alle superfici) |
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S. Salsa, A. Squellati Esercizi di analisi matematica 2,
(parte prima, parte seconda) , Zanichelli, 1999. |
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(2 ore) Curve Richiami sulle funzioni vettoriali. Prodotto scalare e vettoriale. Definizione di curva in R^n, esempi, verso di una curva. Vettore tangente. (2 ore) Curve Curve regolari. Curve equivalenti. Curve rettificabili. Esempio di una curva non rettificabile. Lunghezza di una curva. Teorema: ogni curva regolare è rettificabile. (1 ora) Curve. Dim. del teorema: ogni curva regolare è rettificabile. La lunghezza di una curva non cambia per curve equivalenti. Curve regolari a tratti e loro lunghezza. Curva unione di due curve. (2 ore) Ascissa curvilinea. Vettore normale e binormale. Integrale curvilineo di una funzione ad n variabili e suo significato geometrico. Proprietà dell'integrale curvilineo. (1 ora) Forme differenziali Definizione di forma differenziale lineare. Integrale curvilineo di una forma differenziale e suo significato fisico. (2 ore) Forme differenziali Forme differenziali esatte e chiuse. Primitiva (potenziale) di una forma differenziale. Esatta implica chiusa. Esempi.Caratterizzazione delle forme esatte in termini dell'integrale curvilineo. (1 ora) Forme differenziali Fine della dim. del teorema di caratterizzazione. Insiemi stellati. Lemma di Poincaré: caratterizzazione delle forme esatte in domini stellati. Costruzione della primitiva. (2 ore) Forme differenziali/ Funzioni implicite Omotopia. Insiemi semplicemente connessi. Caratterizzazione delle forme esatte in domini semplicemente connessi. Teorema di Dini sulle funzioni implicite (caso di due variabili). (1 ora) Funzioni implicite Fine della dim. del teorema di Dini. Esempi di sviluppo in formula di Taylor della funzione implicita. (2 ore) Funzioni implicite Il teorema di invertibilità locale come analogo non lineare del teorema di Cramer. Il teorema delle funzioni implicite come analogo non lineare del teorema di Rouché-Capelli. Lemma (analogo al teorema di Lagrange per funzioni vettoriali): stima dell'incremento in norma di una funzione di classe C^1 in termini della norma del gradiente. e dell'incremento della variabile. Inizio della dimostrazione del teorema di Dini sulle funzioni implicite (caso generale). (1 ora) Funzioni implicite Fine della dim. del teorema di Dini, caso generale. Dimostrazione del teorema di invertibilità locale. (2 ore) Estremi vincolati Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per funzioni di due variabili. (1 ora) Estremi vincolati Estremi vincolati nel caso generale. (2 ore) Teoria della misura secondo Peano-Jordan Intervalli in R^n. Plurintervalli. Misura di un Plurintervallo e sue proprietà. Misura interna e misura esterna di un insieme limitato. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. (1 ora) Teoria della misura secondo Peano-Jordan Caratterizzazione degli insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. La misura di Peano-Jordan è finitamente additiva. (2 ore) Teoria della misura secondo Peano-Jordan ed integrazione multipla Proprietà della misura di Peano-Jordan. Altra caratterizzazione degli insiemi misurabili in termini della misurabilità della frontiera. Misurabilità degli insiemi prodotto (senza dim). Misurabilità per insiemi illimitati (senza dim). Integrale di Riemann in R^n per funzioni limitate definite in insiemi limitati. Criterio di integrabilità. (1 ora) Integrazione multipla Dim. del Lemma relativo alle somme inferiori e superiori. Integrabilità delle funzioni continue. (2 ore) Integrazione multipla Rappresentazione dell'integrale di funzioni continue come limite. Teorema della media. Domini normali e loro misurabilità. Cilindroide di una funzione positiva. Enunciato del teorema di riduzione. (1 ora) Integrazione multipla (2 ore) Integrazione multipla (1 ora) Superfici Definizione di superficie regolare, semplice. Proprietà equivalenti che definiscono una varietà differenziale. (2 ore) Superfici Linee coordinate. Superfici equivalenti. Esempi: sfera. Piano tangente e retta normale ad una superficie. (2 ore) Superfici Orientazione di una superficie. Nastro di Moebius. Area di una superficie. (1 ora) Superfici Integrale superficiale. Aperto regolare. Bordo di un aperto regolare. (2 ore) Il teorema della divergenza Il teorema della divergenza per n=2,3 (con dim) come estensione del teorema fondamentale del calcolo integrale. Formule di Gauss-Green. Area di un aperto regolare. (2 ore) Il teorema di Stokes Bordo di una superficie. Orientamento positivo del bordo. Superfici ammissibili. Teorema di Stokes (senza dim). Applicazioni al calcolo degli integrali di forme differenziali. |
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